Comment résoudre une équation du second degré ?

Ancien Professeur
31/10/2024

En bref

Une équation du second degré se résout en 3 étapes clés :

  1. Mettre l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0
  2. Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac
  3. Utiliser la formule appropriée selon le signe du discriminant

Points importants à retenir :

  • Le discriminant détermine le nombre de solutions
  • Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes
  • Si Δ = 0 : une solution réelle double
  • Si Δ < 0 : pas de solution réelle

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation polynomiale où la plus haute puissance de l'inconnue est 2. Elle s'écrit sous la forme :
ax² + bx + c = 0
où :
  • a est le coefficient du terme de degré 2 (a ≠ 0)
  • b est le coefficient du terme de degré 1
  • c est le terme constant
Ces équations apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes concrets comme :
  • Le calcul de trajectoires
  • L'optimisation de surfaces
  • La modélisation de phénomènes physiques
Note importante : Le coefficient a ne doit jamais être égal à 0.

Méthode de résolution en 3 étapes

1. Mettre l'équation sous la forme canonique

Pour mettre l'équation sous la forme :

ax² + bx + c = 0
  • Développer si nécessaire
  • Regrouper tous les termes dans le membre de gauche
  • Identifier les coefficients a, b et c

2. Calculer le discriminant

Le discriminant Δ = b² - 4ac est crucial car :

  • Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes
  • Δ = 0 : une solution réelle double
  • Δ < 0 : pas de solution réelle

La valeur du discriminant détermine la nature des solutions.

3. Calculer les solutions

Selon la valeur de Δ, utilisez la formule appropriée :

  • Si Δ > 0 :
    • x₁ = (-b - √Δ)/(2a)
    • x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
  • Si Δ = 0 :
    • x = -b/(2a)
  • Si Δ < 0 :
    • Pas de solution dans ℝ

Exemple pratique

Résolvons l'équation :

x² - 5x + 6 = 0

1. L'équation est déjà sous forme canonique avec :

  • a = 1
  • b = -5
  • c = 6

2. Calculons le discriminant :

Δ = b² - 4ac

= (-5)² - 4×1×6

= 25 - 24

= 1

3. Comme Δ > 0, il y a deux solutions :

x₁ = (-(-5) - √1)/(2×1) = (5 - 1)/2 = 2

x₂ = (-(-5) + √1)/(2×1) = (5 + 1)/2 = 3

Vérification :

  • Pour x = 2 : 2² - 5×2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓
  • Pour x = 3 : 3² - 5×3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓

Cas particuliers et astuces

Équation factorisée

Si l'équation est de la forme :

(x - r)(x - s) = 0

Les solutions sont directement r et s.

Équation incomplète

1. Si b = 0 (ax² + c = 0) :

  • x = ±√(-c/a) si -c/a ≥ 0

2. Si c = 0 (ax² + bx = 0) :

  • x = 0 ou x = -b/a

Carrés parfaits

Si l'équation peut s'écrire sous la forme :

(x + p)² = q

Alors :

  • x = -p ± √q si q ≥ 0
  • Pas de solution si q < 0
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