Comment résoudre une équation du second degré ?
Ancien Professeur
31/10/2024
En bref
Une équation du second degré se résout en 3 étapes clés :
- Mettre l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0
- Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac
- Utiliser la formule appropriée selon le signe du discriminant
Points importants à retenir :
- Le discriminant détermine le nombre de solutions
- Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes
- Si Δ = 0 : une solution réelle double
- Si Δ < 0 : pas de solution réelle
Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?
Une équation du second degré est une équation polynomiale où la plus haute puissance de l'inconnue est 2. Elle s'écrit sous la forme :
ax² + bx + c = 0
où :
- a est le coefficient du terme de degré 2 (a ≠ 0)
- b est le coefficient du terme de degré 1
- c est le terme constant
Ces équations apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes concrets comme :
- Le calcul de trajectoires
- L'optimisation de surfaces
- La modélisation de phénomènes physiques
Note importante : Le coefficient a ne doit jamais être égal à 0.
Méthode de résolution en 3 étapes
1. Mettre l'équation sous la forme canonique
Pour mettre l'équation sous la forme :
ax² + bx + c = 0
- Développer si nécessaire
- Regrouper tous les termes dans le membre de gauche
- Identifier les coefficients a, b et c
2. Calculer le discriminant
Le discriminant Δ = b² - 4ac est crucial car :
- Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes
- Δ = 0 : une solution réelle double
- Δ < 0 : pas de solution réelle
La valeur du discriminant détermine la nature des solutions.
3. Calculer les solutions
Selon la valeur de Δ, utilisez la formule appropriée :
-
Si Δ > 0 :
- x₁ = (-b - √Δ)/(2a)
- x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
-
Si Δ = 0 :
- x = -b/(2a)
-
Si Δ < 0 :
- Pas de solution dans ℝ
Exemple pratique
Résolvons l'équation :
x² - 5x + 6 = 0
1. L'équation est déjà sous forme canonique avec :
- a = 1
- b = -5
- c = 6
2. Calculons le discriminant :
Δ = b² - 4ac
= (-5)² - 4×1×6
= 25 - 24
= 1
3. Comme Δ > 0, il y a deux solutions :
x₁ = (-(-5) - √1)/(2×1) = (5 - 1)/2 = 2
x₂ = (-(-5) + √1)/(2×1) = (5 + 1)/2 = 3
Vérification :
- Pour x = 2 : 2² - 5×2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓
- Pour x = 3 : 3² - 5×3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓
Cas particuliers et astuces
Équation factorisée
Si l'équation est de la forme :
(x - r)(x - s) = 0
Les solutions sont directement r et s.
Équation incomplète
1. Si b = 0 (ax² + c = 0) :
- x = ±√(-c/a) si -c/a ≥ 0
2. Si c = 0 (ax² + bx = 0) :
- x = 0 ou x = -b/a
Carrés parfaits
Si l'équation peut s'écrire sous la forme :
(x + p)² = q
Alors :
- x = -p ± √q si q ≥ 0
- Pas de solution si q < 0
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